Pengertian Dan Rumus Dasar Untuk Integral Tak Tentu

.com -Integral Tak Tentu. Integral merupakan bentu operasi matematika yang menyatakan kelabikan dari differensial atau turunan sehingga disebut juga sebagai anti diferensial. Dalam operasi integral terdapat notasi integral dan notasi variabel integrasi. Berdasarkan ada tidaknya batas untuk variabel integrasi, secara umum integral dibedakan menjadi dua jenis, yaitu intgeral tak tentu (indefinite integral) dan integral tentu (definite integral). Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah membahas pengenalan dasar mengenai kedua jenis integral ini. Pada materi mencar ilmu ini, akan dibahas bagaimana hukum dan rumus dasar dari integral tak tentu.

A. Pengertian Integral Tak Tentu

Integral tak tentu merupakan bentuk integral yang variabel integrasinya tidak mempunyai batas sehingga integrasi dari sebuah fungsi akan menghasilkan banyak kemungkinan dan hanya dinyatakan sebagai penyelesaian umum. Istilah tak tentu berarti bentuk fungsi F memuat konstanta real sembarang. Konstanta sembarang ini umumnya disimbolkan dengan aksara c dan menjadi ciri dari hasi integrasi tak tentu.

Mengapa hasil integral tak tentu mempunyai banyak kemungkinan dan hanya berupa solusi umum? Hasil integral tak tentu disebut demikian alasannya ialah memang tidak sanggup dipastikan fungsi mana yang merupakan integral dari suatu integran. Integran merupakan istilah untuk sebuah fungsi yang akan ditarik integralnya. Untu lebih jelasnya, mari simak ulasan memberikankut ini.

Seperti defenisinya, integral intinya merupakan operasi balikan dari turunan (diferensial). Maksudnya, kalau f(x) ialah turunan dari F(x), maka kita sanggup memilih F(x) dengan cara mengintegralkan f(x). Akan tetapi, pada kenyataannya, dikala f(x) diintegralkan maka akhirnya tidak hanya berupa F(x) melainkan mengandung suatu tetapan yaitu c.

Sebagai contoh, mari kita ambil sebuah fungsi, katakan F(x) = 3x². Jika f(x) ialah turunan dari fungsi F(x), maka diperoleh :
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d (3x²)/dx
⇒ f(x) = 6x

Kemudian dimemberikankan juga fungsi kedua dalam variabel x, contohnya F(x) = 3x² + 4. Jika f(x) ialah turunan dari fungsi F(x), maka diperoleh :
⇒ f(x) = dF(x)/dx
⇒ f(x) = d (3x² + 4)/dx
⇒ f(x) = 6x

Nah, pada kedua proses diferensiasi (menurunkan) di atas, sanggup dilihat bahwa kedua fungsi tersebut menghasilkan turunan yang sama, yaitu sama-sama 6x.

Jika berpatokan pada fungsi pertama F(x) = 3x², maka hasil dari integral 6x ialah :
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 6x dx
⇒ ∫ f(x) dx ≈ 3x²

Sebaliknya, kalau berpatokan pada fungsi kedua F(x) = 3x² + 4, maka integral dari 6x adalah:
⇒ ∫ f(x) dx = ∫ 6x dx
⇒ ∫ f(x) dx ≈ 3x² + 4

Dari kedua proses integrasi di atas, sanggup kita lihat bahwa integral dari 6x ternyata tidak menghasilkan satu tpendapatan yang pasti, alasannya ialah sanggup saja tpendapatannya ialah 3x² atau 3x² + 4. Jawaban dari integral 6x juga sanggup saja fungsi lain contohnya 3x² + 10, 3x² - 6, dan sebagainya. Oleh alasannya ialah itu, tpendapatan dari integral tak tentu hanya sanggup ditulis sebagai penyelesaian umum dengan menambahkan suatu tetapan integrasi c.

Dengan demikian, kalau f(x) ialah turunan dari F(x), maka hasil integrasi dari f(x) sanggup ditulis sebagai memberikankut:

∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan :
∫ = notasi integral tak tentu
f(x) = integran atau fungsi yang akan ditarik integralnya
dx = variabel integrasi
F(x) = fungsi umum penyelesaian
c = tetapan atau konstanta integrasi.

B. Aturan dan Rumus Dasar Integral

Pada dasarnya hasil integral dari suatu fungsi sanggup ditentukan dengan cara mengira proses turunannya. Untuk fungsi yang sederhana, cara ini sanggup saja berhasil. Akan tetapi, untuk fungsi yang lebih kompleks tentu saja akan sangat tidak ringan dan sepele untuk meruntut proses turunannya semoga diperoleh integrasinya. Oleh alasannya ialah itu, dalam penyelesaian integral terdapat beberapa hukum dasar yang sanggup dijadikan sebagai patokan untuk menuntaskan duduk kasus integral.

#1 Integral Tak Tentu Suatu Konstanta
Dimemberikankan sebuah fungsi F(x) = kx. Jika f(x) ialah turunan dari F(x), maka f(x) = k. Dengan demikian, integral dari k akan mengandung penyelesaian umum yaitu kx + c. Jika fungsi yang akan diintegralkan (integran) tidak mengandung variabel atau hanya berupa konstanta, maka hasil integralnya akan mengikuti rumus dasar memberikankut ini:

∫ k dx = kx + c

Keterangan :
k = konstanta atau bilangan tertentu
c = tetapan integrasi.

Contoh :
Tentukan hasil integral dari beberapa bentuk di bawah ini:
(a). ∫ 6 dx      (b). ∫ 8 dy       (c). ∫ 4 dt

Pembahasan :
Sesuai dengan hukum dasar untuk fungsi konstanta, maka diperoleh:
a). ∫ 6 dx = 6x + c
b). ∫ 8 dy = 8y + c
c). ∫ 4 dt = 4t + c

#2 Integral Tak Tentu Fungsi Pangkat
Integral tak tentu dari suatu fungsi pangkat sanggup diartikan sebagai fungsi pangkat lain yang diperoleh dari integran dengan cara menambah pangkatnya dengan 1 dan membagi pernyataan yang dihasilkan dengan pangkat gres tersebut. Dengan kata lain, kalau integran berbentuk fungsi pangkat, maka hasil integralnya mengikuti rumus dasar memberikankut:

∫ xn dx = 1  xn+1 + c n + 1

Keterangan :
xⁿ = bilangan atau fungsi pangkat
n = pangkat dari variabel x
c = tetapan integrasi.

Contoh :
Tentukan hasil dari integral tak tentu memberikankut ini : ∫ x⁴ dx

Pembahasan :
Sesuai dengan rumus dasar untuk fungsi pangkat di atas, n = 4, maka:
⇒ ∫ x⁴ dx = 1/(4+1) . x⁴⁺¹ + c
⇒ ∫ x⁴ dx = 1/5 . x⁵ + c
⇒ ∫ x⁴ dx = ¹/₅ x⁵ + c

#3 Integral Tak Tentu Konstanta Kali Fungsi
Aturan ketiga ini merupakan perpaduan antara hukum pertama dan hukum kedua. Jika fungsi integran (fungsi yang akan diintegralkan) merupakan hasil kali konstanta dan fungsi, maka hasil integralnya sanggup ditentukan dengan memakai rumus dasar memberikankut ini:

∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx

∫ k xn dx = k 1  xn+1 + c n + 1

Keterangan :
k = konstanta
n = pangkat dari variabel x.

Contoh :
Tentukan hasil dari integral tak tentu memberikankut ini : ∫ 4 x³ dx

Pembahasan :
Dari soal diketahui k = 4 dan n = 3, maka sesuai rumus diperoleh:
⇒ ∫ 4 x³ dx = 4 ∫ x³ dx =
⇒ ∫ 4 x³ dx = 4 . 1/(3+1) . x³⁺¹ + c
⇒ ∫ 4 x³ dx = 4 . 1/4 . x⁴ + c
⇒ ∫ 4 x³ dx = x⁴ + c

#4 Integral Tak Tentu Penjumlahan Fungsi
Aturan memberikankutnya ialah untuk integran yang berbentuk penjumlahan dua fungsi. Misalkan dimemberikankan dua buah fungsi dengan variabel yang sama yaitu f(x) dan g(x), maka hasil integral dari penjumlahan fungsi tersebut sanggup diselesaikan dengan mengikuti rumus memberikankut:

∫ {f(x) + g(x)} dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

∫ {f(x) − g(x)} dx = ∫ f(x) dx − ∫ g(x) dx

Keterangan :
f(x) = fungsi pertama dalam variabel x
g(x) = fungsi kedua dalam variabel x.

Contoh : 
Tentukan hasil dari integral tak tentu memberikankut : ∫ (4x³ + 2x) dx

Pembahasan :
Jika fungsi di atas diuraikan maka diperoleh f(x) = 4x³ dan g(x) = 2x.
⇒ ∫ {f(x) + g(x)} dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
⇒  ∫ (4x³ + 2x) dx  = ∫ 4x³ dx + ∫ 2x dx
⇒  ∫ (4x³ + 2x) dx  = {4 . 1/(3+1) . x³⁺¹ + c₁} + {2 . 1/(2+1) . x¹⁺¹ + c₂}
⇒  ∫ (4x³ + 2x) dx  = {4 . 1/4 . x⁴ + c₁} + {2 . 1/2 . x² + c₂}
⇒  ∫ (4x³ + 2x) dx  = (x⁴ + c₁) + (x² + c₂)
⇒  ∫ (4x³ + 2x) dx  = x⁴ + x² + c₁ + c₂
⇒  ∫ (4x³ + 2x) dx  = x⁴ + x² + c.

#5 Integral Tak Tentu Kebalikan Variabel
Jika integran merupakan bentuk kebalikan dari variabel fungsi (variabel pangkat negatif 1), maka hasil integral dari fugsi tersebut sanggup diperoleh berdasaran hukum dasar memberikankut ini.

∫ x-1 dx = ln |x| + c

Keterangan :
x = variabel fungsi
ln = logaritma natural
| | = evaluasi mutlak dari variael x.

Demikianlah pembahasan singkat mengenai pengertian dan rumus dasar untuk integral tak tentu. Jik materi mencar ilmu ini memberi manfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini. Terimakasih.

Advertisement